1. CFD의 개요 및 기초이론
   
2. 지배방정식
   3. 지배방정식의 이산화
   4. 해의 안정성
   5. 좌표변환
   6. 격자계 생성
   7. 미분 방정식 종류에 따른

     수치해석 기법
   8. 지배방정식에 따른

     수치해석 기법
   9. 난류 모델링
   10. 예제





1-2. 편미분 방정식(Partial Differential Equation)

   유동현상은 편미분 방정식의 형태로 표시될 수 있으며 이러한 편미분 방정식의 해를 구하는 절차는 편미분 방정식의 형태에 따라 달라지기 때문에 이러한 편미분 방정식을 구분하는 방법을 알아두는 것이 필요하다.

  
1. 선형(linear)과 비선형(nonlinear)
   우선 편미분 방정식은 크게 선형(Linear)과 비선형(non-Linear)으로 구분한다. 미분방정식의 각항이 종속변수 또는 그의 도함수에 관하여 1차식이면 선형, 그렇지 않은 경우 비선형이라 한다.


  
2. 판별식에 따른 PDE의 구분
   편미분 방정식을 구분하는 다른 방법은 판별식을 이용하는 것이다. 유체유동을 지배하는 일반적인 방정식은 다음과 같은 형태의 2차 편미분 방정식으로 표현할 수 있다.

         
                    
                      

     여기서, A, B, C, D, E, F는 종속변수 f 에 대한 독립변수 x, y의 계수이다.
     윗 식으로부터,

         
         

     (2), (3)식을 (1)식에 대입하고 Cramer's rule을 적용하면 다음과 같다.

         

     특성방정식을 구하기 위하여 분모를 0으로 놓으면,(분자/분모는 행렬식을 의미함)

         
         

     따라서, 편미분 방정식의 판별식을 B
2- 4AC로 정의하면 판별식에 따라 편미분 방정식은

     다음과 같이 구분된다.

타원형
(elliptic)

타원형에서는 종속역이 Domain내 특정점을 모두 둘러싼 곡선이 된다. 즉 모든 경계점이 종속역이 되며 모든 정의역이 영향역이 된다.

포물선형
(parabolic)

포물선형에서는 종속역이 경계의 일부로 주어지며 영향역은 주어진 점의 한쪽방향으로 나타난다.

쌍곡선형
(hyperbolic)

쌍곡선형은 포물선형과 유사하나 특성선이 2개라는 것 때문에 완전히 다른 특성을 갖는다. 특히 포물선형인 경우 주어진 점에서 특성선의 모양이 자명하지면 쌍곡선형인 경우 특성선의 모양을 해의 일부로 함께 결정해야한다.


[그림 1-2]


   이렇게 편미분 방정식을 분류하는 것은 유일한 해를 결정하기 위하여 편미분 방정식과 함께 제공되어야만 하는 초기/경계조건의 종류를 이해하는 데 중요하다. 즉, 각각의 편미분 방정식의 종류에 따라 근사해를 구하기 위한 해법이 차이가 있음을 나타낸다.


  
3. 편미분 방정식 계(System of PDE)

   고려해야 할 지배방정식이 2개이상인 경우에 대하여 PDE를 구분하는 방법을 살펴보자.
   (1) 고유값(Eigenvalue)에 의한 구분
     다음과 같은 2개의 PDE를 고려하자.

            
            

     위의 두 식을 행렬형태로 표시하면 다음과 같다.

           

     여기서,
           

     만일 [A] 또는 [B]의 고유값이 실수(real)이면 방정식 계는 x와 t에 대하여 쌍곡선형이고
     복소수(complex)이면 타원형이다.

   (2) Characteristic Normal에 의한 구분
     다시 식(1)을 고려하자.

         

     특성면(characteristic surface)을 S라 정의하고 이에 수직한 벡터를 다음과 같이 정의한다.

         

     (1)식이 특성방향으로 wave-like solution을 갖기 위해서는 다음의 조건을 만족해야 한다.

         

     따라서,

       
                  
                       
                  

     그러므로, H>0 : hyperbolic
                    H<0 : elliptic
                    H=0 : parabolic


  
4. 초기 조건과 경계조건(Initial & Boundary Conditions)
   편미분 방정식의 고유해를 구하기 위해서는 방정식을 풀기 위한 충분한 조건이 주어져야 하며,

   이러한 조건은 크게 초기조건과 경계조건으로 구분한다.
       - 초기조건 : 독립변수가 어떤 초기상태에서 결정되어야 하는 요구조건.
       - 경계조건 : 독립변수 또는 그의 미분이 PDE의 domain의 경계에서 만족되어야 하는
                         요구조건

     이중 경계조건은 다음과 같이 구분한다.

       (1) The Dirichlet boundary condition

             - 경계를 따라 독립변수들의 값이 주어짐

       (2) Neumann boundary condition

             - 경계를 따라 독립변수의 수직구배값(normal gradient)이 주어짐

       (3) Robin boundary condition

             - 제한된 경계조건이 선형적으로 Drichlet boundary condition이나 Neumann boundary
               condition의 형태로 조합됨

       (4) Mixed boundary condition

             - 경계조건이 어떤 위치에서는 Drichlet boundary condition으로 주어지고 다른 위치에선

                Neumann boundary condition으로 주어짐


  
<Example>

1-2절 연습문제
(Computational Fluid Dynmics for Engineer chap. 1, Hoffman)

다음 2계 PDE를 구분하여라

        

Sol] A=3, B=1, C=2이므로,